IDENTIDADES NOTABLES

Éste es un tema básico de álgebra elemental, se imparte en cursos de escuela secundaria entre segundo y tercer año. Las identidades notables, son expresiones que pueden escribirse por simple inspección. También se les llama productos notables. Pueden existir muchas identidades, pero, por lo general se estudian 10 como promedio. Aquí les mostraré algunas más:


1. Propiedad distributiva
x(y+z)=xy+xz

2. Binomio al cuadrado
(x+y)²=x²+2xy+y²

3. Binomio al cubo (identidad de Cauchy)
(x+y)³=x³+3xy(x+y)+y³

4. Trinomio al cuadrado.
(x+y+z)²=x²+y²+z²+2(xy+xz+yz)

5. Cubo de un trinomio
(x+y+z)³=x³+y³+z³+3(x+y)(x+z)(y+z)

6. Producto de la suma por la diferencia
(x+y)(x-y)=x²-y²

7. Identidades de Steven
a.(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab
b.(ax+b)(cx+d)=acx²+(ad+bc)x+bd
c. (x+a)(x+b)(x+c)=x³+(a+b+c)x²+(ab+ac+bc)x+abc

8. Producto de la forma (x+y)(x²-xy+y²)
a. (x+y)(x²-xy+y²)=x³+y³
b. (x-y)(x²+xy+y²)=x³-y³

9. Identidad de Gauss
(x+y+z)(x²+y²+z²-xy-xz-yz)=x³+y³+z³-3xyz

10. Identidades de Legendre
a. 2(x²+y²)=(x+y)²+(x-y)²
b. 4xy=(x+y)²-(x-y)²

11. Identidades de Lagrange
a. (a²+b²)(x²+y²)=(ax+by)²+(ay-bx)²
b. (a²+b²+c²)(x²+y²+z²)=(ax+by+cz)²+(ay-bx)²+(bz-cy)²+(az-cx)²

12. Identidades de Argand
a. (x²+y²+z²)(x²-xy+y²)=x⁴+x²y²+y⁴
b. (x²+x+1)(x²-x+1)=x⁴+x²+1

Como podemos observar, hay muchas de estas identidades que posiblemente no las conocías debido a que no aparecen a menudo en libros de álgebra. Cada una de ellas es específica y puede ser demostrada, es un trabajo fácil pero tedioso. Te dejo unos cuantos ejemplos y otros propuestos para que practiques en casa.

EJEMPLO 1: encuentra el valor de $$(\sqrt[2]{4-y}+\sqrt[2]{2+y})^{2}-(\sqrt[2]{4-y}-\sqrt[2]{2+y})^{2}$$ Solución: primero observa bien lo que se plantea, luego compáralo con alguna de las identidades expuestas anteriormente. Como podrás ver, el ejercicio se resuelve fácilmente usando la identidad de Legendre. 2(x²+y²)=(x+y)²+(x-y)² ésta específicamente. Aplicando se tiene: $$(\sqrt[2]{4-y}+\sqrt[2]{2+y})^{2}-(\sqrt[2]{4-y}-\sqrt[2]{2+y})^{2}=2(\sqrt[2]{4-y})^{2}+(\sqrt[2]{2+y})^{2}=12$$

EJEMPLO 2: sí $$x+\frac{1}{x}=2$$Encuentre el valor de $$x^{2}+\frac{1}{x^2}$$Solución: quizás estés pensando "como resuelvo eso" o quizás ya tengas algo en mente, lo que se me ocurre es elevar al cuadrado a ambos miembros, entonces$$(x+\frac{1}{x})^{2}=2^{2}$$ $$x^{2}+2+\frac{1}{x^2}=4$$ $$x^{2}+\frac{1}{x^2}=4-2=2$$

RESUELVE
1. Si: $$x+y=3 \land xy=2$$ Encuentre: $$x^{3}+y^{3}$$ 2. Desarrolle:
2.1. (x²+3xyz)²
2.2 (a^x-3^x+y)³
2.3 (2vw+a-c)³
2.4 (100+x²)(-x²+100)
2.5 (z-30)(z+15)
2.6 (2v+5r)(v-1)
2.7 (y+a)(y+s)(y-1)
2.8 (v^x+y-2v^y-x+3v^x-y)³
2.9 (x³+y³)(x⁶-(xy)³+y⁶)
2.10 (y-wz)⁴
3. Dibuje un rectángulo de altura x, divida este mismo en dos partes de base y e z (ambos de altura x). Demuestre mediante este gráfico la propiedad distributiva.