TEOREMA DEL BINOMIO (CON CÁLCULO)

Ayer estuve pensando en otra forma de demostrar el teorema del binomio de Newton que no sea por inducción, estuve trabajando por algunas 3 horas pensando en un método más algebraico, recordé una técnica de la que habló un profesor Peruano llamado Villareal, éste señor encontró un método para calcular la potencia "n" de una expresión algebraica cualesquiera. Les dejo aquí mi demostración.

Tomemos un binomio de la forma f(x)=ax+b, tendríamos: $$[f(x)]^{2}=g(x)\ \ (1)$$ Entonces, g(x) tendrá la forma: $$g(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}bx^{n-1}+a_{n-2}b^{2}x^{n-2}+...+a_{1}b^{n-1}x+b^{n}\ \ (2)$$ Vamos a trabajar con ambas expresiones, utilizaré el método de coeficientes indeterminados y un poco de cálculo diferencial. $$[f(x)]^{n}=g(x)$$ $$n[f(x)]^{n-1}f´(x)=g´(x)\ \ ...derivando\ ambos\ miembros$$ $$n[f(x)]^{n}f´(x)=f(x)g´(x)\ \ ...multiplicando\ por\ f(x)$$ $$ng(x)f´(x)=f(x)g´(x)\ \ ...recordando\ (1)$$ $$ng(x)f´(x)=f(x)g´(x)\ \ ...(2)$$ Ahora calculemos las derivadas de f(x) y g(x) $$f´(x)=a\ y\ g´(x)=na_{n}x^{n-1}+(n-1)a_{n-1}bx^{n-2}+(n-2)a_{n-2}b^{2}x^{n-3}+...+b^{n-1}$$ Para hacer el trabajo un poco más comprensible, vamos a calcular primeramente los productos que aparecen en ambos miembros de (2) por separado. $$ng(x)f´(x)=(na)a_{n}x^{n}+(na)a_{n-1}bx^{n-1}+(na)a_{n-2}b^{2}x^{n-2}+...+(na)a_{1}b^{n-1}x+(na)b^{n}$$ $$f(x)g´(x)=(ax)na_{n}x^{n-1}+(ax)(n-1)a_{n-1}bx^{n-2}+(ax)(n-2)a_{n-2}b^{2}x^{n-3}+\\[0.1cm]...+(ax)b^{n-1}+bna_{n}x^{n-1}+b(n-1)a_{n-1}bx^{n-2}+b(n-2)a_{n-2}b^{2}x^{n-3}+...+b^{n}$$ Listo! Ahora que ya tenemos armado los productos, usamos el método de coeficientes indeterminados, comencemos por los coeficientes de x^n-1 $$(na)a_{n-1}=a(n-1)a_{n-1}+na_{n}$$ $$aa_{n-1}=na_{n}$$ $$a_{n-1}=\frac{na_{n}}{a}$$ Pero sabemos con antelación que a_n=aⁿ por lo tanto: $$a_{n-1}=na^{n-1}$$ Comparemos ahora los coeficientes de x^n-2 $$(na)a_{n-2}=a(n-2)a_{n-2}+(n-1)a_{n-1}$$ $$2aa_{n-2}=(n-1)a_{n-1}$$ $$a_{n-2}=\frac{(n-1)a_{n-1}}{2a}$$ $$a_{n-2}=\frac{n(n-1)a^{n-2}}{2}$$ Comparando coeficientes de x^n-3 $$(na)a_{n-3}=a(n-3)a_{n-3}+(n-2)a_{n-2}$$ $$3aa_{n-3}=(n-2)a_{n-2}$$ $$a_{n-3}=\frac{(n-2)a_{n-2}}{3a}$$ $$a_{n-3}=\frac{n(n-1)(n-2)a^{n-3}}{2*3}$$ Así sucesivamente, vamos observando que estos coeficientes siguen un patrón de la forma:: $$a_{n-k}=\frac{n(n-1)(n-2)...hasta\ (n-k+1)\ factores}{k!}a^{n-k}$$ Como sabemos, es el mismo patrón que siguen los coeficientes binomiales, por lo tanto ha quedado demostrado el teorema de Newton.
Espero éste método haya sido fácil de entender, por supuesto es un poco mas tedioso que por inducción, pero, es una nueva forma de verlo, si tienes alguna duda puedes dejarla en un comentario.