INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE CONJUNTOS

A lo largo de nuestro estudio en matemáticas nos encontramos con términos que no pueden ser definidos de forma sencilla, tales términos se conocen como términos primitivos. Uno de estos términos es el de conjunto, usualmente el concepto de conjunto se usa como sinónimo de colección, agregado y clase. Los objetos que constituyen un conjunto se denominan elementos o miembros del conjunto. Estos elementos pueden ser objetos de cualquier clase.

Para denotar a los conjuntos utilizamos letras mayúsculas y los elementos, por letras minúsculas. Si el número de elementos de un conjunto puede expresarse mediante un entero positivo, se dice que el conjunto es finito, en caso contrario se dice que el conjunto es infinito. Los conjuntos finitos pueden mostrarse escribiendo sus elementos entre llaves. Por ejemplo, si A es el conjunto formado por todas las vocales, entonces:

$A=\{a, e, i, o, u\}$

Si un conjunto es finito, pero tiene un número grande de elementos, podemos expresarlo escribiendo una cantidad suficiente de éstos para indicar como se pueden determinar los restantes e indicando, en alguna forma, cuántos elementos tiene. Por ejemplo: Si B es el conjunto formado por todos los múltiplos de 5 menores que 100, escribiremos:

$B=\{5, 10, 15, 20,...,95\}$

Generalizando, si el conjunto X tiene como elementos a $c_{1},\ c_{2},\ c_{3},...,c_{n}$ escribiremos:

$X=\{c_{1}, c_{2}, c_{3},...,c_{n} \}$

Si queremos denotar que el elemento $c_{1}$ pertenece al conjunto X utilizamos el símbolo de pertenencia $\in$, entonces, se escribe:

$c_{1} \in X$

Ahora, si queremos indicar que un elemento no pertenece al conjunto, utilizamos el símbolo $\notin$.  Entonces, si queremos decir que el elemento $a_{1}$ no pertenece al conjunto $X$, escribimos:

$a_{1} \notin X$ 

Hay dos formas de escribir los conjuntos; la primera de ellas es la que explicamos mas arriba, la segunda sigue el principio de comprensión o abstracción, por el cual es posible determinar un conjunto identificando sus elementos mediante una propiedad común a ellos.

Por ejemplo, si queremos denotar de forma abstracta el conjunto de todos los números pares, podemos escribir: 

$A=\{2x | x \in \mathbb{N}\}$

Cuando dos conjuntos A y B tienen los mismos elementos, se dice que son iguales. Se escribe:

$A=B$

Ya dijimos arriba que cuando un conjunto puede expresarse mediante un entero positivo, decimos que el conjunto es finito. Aquí el concepto al que nos referimos es al de cardinalidad. Para denotar la cardinalidad de un conjunto, utilizamos símbolos como $card (A)$ o $|A|$, también suele usarse #A. Si dos conjuntos tienen la misma cardinalidad, se dice que son equipolentes. 

Hay casos, en los que no es posible (o es poco probable) que existan elementos para ciertos conjuntos, por ejemplo, el conjunto formado por todos los profesores de matemáticas que tienen mas de 300 años. Bien sabemos que la vida promedio de un ser humanos anda por debajo de los 100 años, por lo tanto, la cardinalidad para este conjunto sería 0, o sea que carece de elementos. Al conjunto que no posee ningún elemento se le conoce como conjunto vacío, éste se denota por $\varnothing$. El conjunto que posee un único elemento, recibe el nombre de conjunto unitario. Un ejemplo de este conjunto sería: el conjunto de todos los números que son pares y primos. Bien sabemos que el único número que cumple esta condición es el 2. 

Hay un conjunto al que pertenecen todos los elementos de todos los conjuntos, este conjunto recibe el nombre de conjunto universal.  Éste se denota por $\mathbb{U}$. Por ejemplo, el conjunto formado por todos los municipios de un departamento de Nicaragüa sería un conjunto, el conjunto universal sería todo el país.

Si cada elemento de un conjunto A es también elemento de un conjunto B, entonces se dice que A es subconjuntos de B. Se dice también que A está contenido en B o que B contiene a A. La relación de subconjunto viene dada por:

$A \subset B$ ó $B \supset A$

Por ejemplo, considere los conjuntos $A=\{1, 2, 3, 4, 5\}$; $B=\{2, 4, 5\}$, como podemos observar, todos los elementos del conjunto B están contenidos en el conjunto A, por tanto, se dice que B es subconjunto de A.

Para conjuntos A y B cualesquiera se tiene:

a. $\varnothing \subset A \subset \mathbb{U}$

b. $A \subset A$

c. Si $A \subset B$ y $B \subset C$, entonces $A \subset C$

d. $A=B$ sí y sólo sí $A \subset B$ y $B \subset A$

El inciso d) indica que para comprobar que A=B, debemos primero verificar dos cosas: primero, que $A \subset B$ y la segunda que $B \subset A$. Si A y B no tienen elementos en común se dicen que A y B son conjuntos disjuntos.

Considere el conjunto $A=\{1, 2, 3, 4\}$. El objeto 3 es un elemento del conjunto A, pero 3 no se visualiza como conjunto; sin embargo $\{3\}$ no es un elemento de A. En símbolos podemos decir que:

$3 \in A$ y $\{3\} \subset A$