RAZONES Y PROPORCIONES

Cuando hablamos de proporcionalidad nos referimos a la relación que puede existir entre dos cantidades, de tal manera que al variar una también lo hace la otra en una misma proporción. La proporcionalidad puede ser directa o inversa, según la naturaleza del cambio en las cantidades. 

Proporcionalidad directa: Dos cantidades son directamente proporcionales cuando al aumentar una también lo hace la otra, o viceversa. Por ejemplo, la relación que existe entre el salario y tiempo laboral de un obrero, si éste aumenta el número de horas laborales (lo que se conoce como horas extras) también tendrá que aumentar la cantidad de dinero al fin de mes.

Proporcionalidad inversa: Dos cantidades son inversamente proporcionales cuando al aumentar una disminuye la otra, o viceversa. Por ejemplo, la relación que existe entre una obra y el número de obreros. Si disminuye la cantidad de obreros, la obrará tardará más en ser terminada.

Cuando comparamos dos cantidades, matemáticamente lo hacemos mediante una razón, una razón es un cociente entre dos magnitudes. Por ejemplo, si comparásemos el ancho y el alto de una pizarra de 12x20, la razón sería $\frac{12}{20}$. Las razones pueden ser de dos tipos, aritmética o geométrica. Aquí sólo utilizaremos la geométrica.

Serie de razones: Se llama así al conjunto de más de dos razones iguales. Así, en las siguientes razones:
$$\frac{a}{b}=K,\ \ \frac{c}{d}=K,\ \ \frac{e}{f}=K;\ \ \frac{g}{h}=K;$$
Notamos que todas las razones tienen el mismo valor K; por lo tanto, podemos expresar:
$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}= \frac{e}{f}=\frac{g}{h}=K$$

De lo expuesto anteriormente, se deduce que la condición necesaria y suficiente para obtener una serie de razones iguales es que todas las razones tengan el mismo valor.

PROPIEDADES

1. Sea la serie: $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}= \frac{e}{f}=\frac{g}{h}=K$, se cumple que :
$$\frac{a+c+e+g}{b+d+f+h}=K$$

2. Sea la serie: $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}= \frac{e}{f}=\frac{g}{h}=K$, se cumple que :
$$\frac{a*c*e*g}{b*d*f*h}=K^4$$

3. Sea la serie: $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}= \frac{e}{f}=\frac{g}{h}=K$, se cumple que :
$$\frac { \sqrt [ 4 ]{ a*c*e*g }  }{ \sqrt [ 4 ]{ b*d*f*h }  } =K$$

La igualdad de dos razones se conoce como proporción. Es decir:
$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$ Donde a y d se le llaman extremos, b y c reciben el nombre de medios.

PROPIEDADES

1. Toda proporción se puede escribir de 8 maneras diferentes. Las más comunes son invertir y cambiar medios o extremos.
$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d} \rightarrow \frac{a}{c}=\frac{b}{d}\ Cambiando\ medios$$
$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d} \rightarrow \frac{b}{a}=\frac{d}{c}\ Invirtiendo$$

2. Sea: $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ una proporción, se cumple:
$$\frac{a \pm b}{c \pm d}=\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$$

PROBLEMAS RESUELTOS DE RAZONES Y PROPORCIONES

1. El radio de la Luna es los 3/11 del radio terrestre y el diámetro del sol es igual a 108 diámetros terrestres. ¿Cuál es la razón geométrica entre los radios de la Luna y el Sol?

Solución: comenzamos por simbolizar nuestras magnitudes importantes.
$R_{L}$: radio de la luna
$R_{T}$: radio de la Tierra
$R_{S}$: radio del sol

Del enunciado del problema se extrae que: $R_{L}=\frac{3}{11}R_{T}$ y $R_{S}=108R_{T}$, finalmente planteamos lo que se nos pide:
$$\frac{R_L}{R_S}=\frac{ \frac{3}{11}R_{T}}{108R_{T}}$$
$$\frac{R_L}{R_S}=\frac{3}{1188}=\frac{1}{396}$$

2. En una proporción geométrica la suma de los términos extremos es 20 y su diferencia es 16. ¿Cuál es su media proporcional?

Solución: sabemos que la media proporcional se expresa como:
$$\frac{a}{b}=\frac{b}{d} \rightarrow b^{2}=a*d$$
Además, del problema conocemos que $a+d=20$ y $a-d=16$, al sumar ambas ecuaciones se obtiene que 2a=36 de donde se obtiene que a=18, sustituyendo en cualquiera de las ecuaciones obtenemos d=2, luego la media proporcional es:
$$b=\displaystyle \sqrt{18 \times 2}=6$$

3. La razón de dos números es 3/8 y su suma es 2497. Encontrar el menor de los dos números.

Solución: Podemos plantear:  $\frac{a}{b}=\frac{3}{8}$, además $a+b=2497$, aplicando la propiedad a la proporción nos queda:
$$\frac{a}{3}=\frac{b}{8}=\frac{a+b}{3+8}$$
Considerando que $a+b=2497$ nos queda:
$$\frac{b}{8}=\frac{2497}{11} \rightarrow b=\frac{8 \times 2497}{11}=1816$$
El valor de a será: $a=2497-1816=681$. El menor de los números es 681.

4. Hallar tres cantidades que sean entre sí como 4; 5 y 8 y que sumen 850.

Solución: $$\frac{a}{4}=\frac{b}{5}=\frac{c}{8}=\frac{a+b+c}{4+5+8}=\frac{850}{17}$$
$$a=\frac{4 \times 850}{17}=200$$
$$b=\frac{5 \times 850}{17}=250$$
$$c=\frac{8 \times 850}{17}=400$$

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. En una serie de razones geométricas iguales, los antecedentes son 2; 3; 7 y 11, mientras que el producto de los consecuente es 37422. ¿Cuál es la relación entre consecuente y antecedente?

RPTA: 3

2. "p" es el término central de una proporción geométrica continua, cuyos extremos son "m" y "n". Si:

$$\frac { { m }^{ 2 }-{ p }^{ 2 }+{ n }^{ 2 } }{ \frac { 1 }{ { m }^{ 2 } } -\frac { 1 }{ { p }^{ 2 } } +\frac { 1 }{ { n }^{ 2 } }  } =1296$$

Calcular el valor de "p". 

RPTA: 6

3. Sabiendo que: $\frac{a}{b}=\frac{2}{3}$ Determinar el valor de:

$$E=\frac{a^2+b^2}{b^2}\cdot \frac{a^3}{b^3-a^3}$$

RPTA: 104/171

4. Si:

$$\frac{a^2}{12}=\frac{b^2}{27}=\frac{c^2}{48}=\frac{d^2}{75}$$

$$(d+b)-(c+a)=140$$

Calcular a+b+c+d

RPTA:980

5. El corredor A da a B una ventaja de 20 m en una carrera de 100 m. En otra carrera de 100 m, el corredor B da a C 30  m de ventaja. ¿Qué ventaja deberá dar A a C en una carrera de  100 m?

RPTA: 44 m

6. Si:

$$\frac{A}{a}=\frac{B}{b}=\frac{C}{c}=\frac{D}{d}=\frac{E}{e}=k$$ y, 

$$\frac{A*B*C*D*E}{a*b*c*d*e}=3125$$

Calcular: 

$$\sqrt [ 1000 ]{ \frac { { A }^{ 2000 }+{ B }^{ 2000 }+{ C }^{ 2000 }+D^{2000}+{ E }^{ 2000 } }{ { a }^{ 2000 }+{ b }^{ 2000 }+{ c }^{ 2000 }+{ d }^{ 2000 }+{ e }^{ 2000 } }  } $$

RPTA: 25