FRACCIONES

Una fracción puede definirse de manera sencilla como un cociente indicado. Es decir:

$$\frac{a}{b}$$

Aquí, a recibe el nombre de numerador y b el nombre de denominador. Es importante aclarar que en una fracción $b \neq 0$. Algunos tipos de fracciones se nombran a continuación:

1. En relación a su numerado y denominador

1. Fracción impropia: es aquella en la que el numerador es mayor al denominador, dicho de otra manera, es aquella en el que su desarrollo lineal es mayor a 1. Entiéndase aquí que por desarrollo lineal nos referimos a su cociente. 

Ejemplo: $\frac{5}{3}$

2. Fracción propia: es aquella en la que su numerador es menor que su denominador. Lo que es equivalente a decir que su desarrollo lineal es menor a 1. 

ejemplo: $\frac{3}{5}$

3. Fracción irreductible: una fracción es irreductible cuando su numerador y denominador no tienen divisores comunes.

4. Fracciones equivalentes: dos fracciones son equivalentes cuando al reducir los términos de una se obtiene la otra.

Ejemplo: $\frac{12}{10}$ y $\frac{6}{5}$ son fracciones equivalentes, al sacar mitad al numerador y denominador de la primera fracción, se obtuvo la segunda. Vemos que la mitad de 12 es 6 y la mitad de 10 es 5.

5. Fracción compleja: es aquella en la que su numerador y denominador, también son fracciones.

Ejemplo: $\displaystyle \frac{\frac{3}{5}}{\frac{2}{3}}$
Para resolver esta fracción compleja, se utiliza una regla llamada extremos y medios.

  

Por tanto, para nuestro ejemplo tendríamos:

$$\displaystyle \frac{\frac{3}{5}}{\frac{2}{3}}=\displaystyle \frac{3 \times 3}{5 \times 2}=\frac{9}{10}$$

2. En relación a sus denominadores

En esta categoría entran dos tipos de fracciones:

1. Fracción homogénea: dos fracciones se dice que son homogéneas, cuando tienen igual denominador. Ejemplo: $\frac{2}{3}$ y $\frac{14}{3}$.

2. Fracción heterogénea: dos fracciones son heterogéneas cuando tienen distintos denominadores. Ejemplo: $\frac{4}{7}$ y $\frac{6}{15}$

3. Fracción mixta: es aquella que consta de una parte entera y una fraccionaria. Ejemplo: $2\frac{3}{5}$. Para expresar una fracción mixta como una fracción simple, la parte entera se multiplica por el denominador y seguidamente se le suma el numerador. El denominador de la fracción simple será el mismo que e de la fracción compuesta. Ejemplo: 

$$2\frac{3}{5}=\displaystyle \frac{2\times5+3}{5}=\frac{13}{5}$$

OPERACIONES CON FRACCIONES

I. SUMA/RESTA

Para sumar (ó restar) dos fracciones se utiliza generalmente el mínimo común múltiplo, aquí vamos a usar la otra manera. Por ejemplo: sumar $\frac{4}{3}$ con $\frac{7}{2}$

Terminando de sumar, vemos que se obtiene $\frac{29}{6}$. 

Ejemplo 2: Sumar $\frac{14}{13}$ con $\frac{7}{10}$

$$\frac{14}{13}+ \frac{7}{10}= \frac{140+91}{130}=\frac{231}{130}$$

Ejemplo 3: Restar $\frac{7}{10}$ de $\frac{14}{13}$

$$\frac{14}{13}-\frac{7}{10}=\frac{140-91}{130}=\frac{49}{130}$$

Ejemplo 4: $\frac{8}{3}+\frac{1}{5}-\frac{12}{7}$

Para resolver esta operación que involucra mas de dos sumandos, podemos operarla de dos en dos. Es decir:

$$\frac{8}{3}+\frac{1}{5}=\frac{40+3}{15}=\frac{43}{15}$$

$$\frac{43}{15}-\frac{12}{7}=\frac{301-180}{105}=\frac{121}{105}$$

II. MULTIPLICACIÓN

El producto de dos o más fracciones se obtiene multiplicando los numeradores, esto será el numerador de la fracción resultante. De igual manera, se multiplican todos los denominadores y este valor será el denominador de la fracción resultante. 

Ejemplo 1: $\frac{7}{3} \times \frac{2}{5}=\frac{7\times 2}{3\times 5}=\frac{14}{15}$

Ejemplo 2: $\frac{3}{2} \times \frac{6}{5} \times \frac{8}{15}=\frac{3 \times 6 \times 8}{2 \times 5 \times 15}=\frac{144}{150}=\frac{24}{25}$

III. DIVISIÓN

Para dividir dos fracciones nos apoyamos sobre la siguiente regla:

$$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d}=\frac{a}{b} \times \frac{d}{c}=\frac{a \times d}{b \times c}$$

Si somos observadores, vemos que de forma directa podemos multiplicar de forma cruzada. Veamos algunos ejemplos. 

Ejemplo 1: $$\frac{7}{3} \div \frac{2}{9}=\frac{7 \times 9}{3 \times 2}=\frac{63}{6}=\frac{21}{2}$$

Ejemplo 2: $$\frac{12}{5} \div \frac{6}{7}=\frac{12 \times 7}{5 \times 6}=\frac{84}{30}=\frac{42}{15}=\frac{14}{5}$$

EJERCICIOS RESUELTOS DE FRACCIONES

1. $\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{2}-\frac{5}{3} \times \frac{3}{4}}{3-\displaystyle \frac{4}{3} \times \frac{5}{6}} \times 17-1$

Solución: 

$=\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{2}-\displaystyle \frac{5}{4}}{3-\frac{20}{18}} \times 17-1$

$=\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{4-10}{8}}{\displaystyle \frac{54-20}{18}} \times 17-1$

$=\displaystyle \frac{\displaystyle -\frac{6}{8}}{\displaystyle \frac{34}{18}} \times 17-1$

$=\displaystyle -\frac{6 \times 18}{8 \times 34} \times 17-1$

$=\displaystyle -\frac{27}{68} \times 17-1$

$=\displaystyle -\frac{27}{4}-1$

$=\displaystyle -\frac{31}{4}$ OK!!

2. $\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{2-\frac{2}{5}}{\displaystyle \frac{4}{5}}+\displaystyle \frac{3-\frac{1}{3}}{\displaystyle \frac{4}{3}}}{\displaystyle \frac{4-\displaystyle \frac{1}{3}}{\displaystyle \frac{1}{2}}+\displaystyle \frac{5-\displaystyle \frac{1}{5}}{24}}\times \left(\frac{7}{20} \times \frac{11}{2} \right)$

Solución:

$=\displaystyle \frac {\displaystyle \frac { \displaystyle \frac { 8 }{ 5 }  }{\displaystyle \frac { 4 }{ 5 }  } +\displaystyle \frac {\displaystyle  \frac { 8 }{ 3 }  }{\displaystyle  \frac { 4 }{ 3 }  }  }{ \displaystyle \frac { \displaystyle \frac { 15 }{ 4 }  }{\displaystyle  \frac { 1 }{ 2 }  } +\displaystyle \frac { \displaystyle \frac { 24 }{ 5 }  }{ 24 }  } \times \displaystyle \frac { 77 }{ 40 } $

Aplicando la ley de extremos y medios a cada fracción compleja, se obtiene: 

$=\displaystyle \frac { \displaystyle \frac { 8\times 5 }{ 5\times 4 } +\displaystyle \frac { 8\times 3 }{ 3\times 4 }  }{ \displaystyle \frac { 15\times 2 }{ 4\times 1 } +\displaystyle \frac { 24\times 1 }{ 5\times 24 }  } \times \displaystyle \frac { 77 }{ 40 } $

$=\displaystyle \frac { 2+2 }{\displaystyle \frac { 15 }{ 2 } +\displaystyle \frac { 1 }{ 5 }  } \times \displaystyle \frac { 77 }{ 40 } $

$=\displaystyle \frac { 4 }{\displaystyle \frac { 77 }{ 10 }  } \times \displaystyle \frac { 77 }{ 40 } $

$=\displaystyle \frac { 40 }{ 77 } \times \displaystyle \frac { 77 }{ 40 }$

$=1$ OK!!

3. $\displaystyle \frac { 2 }{ 3 } -\displaystyle \frac { 4 }{ 5 } \div \displaystyle \frac { 6 }{ 7 } $

Solución:

$=\displaystyle \frac { 2 }{ 3 } -\displaystyle \frac { 28}{ 30 } $

$=\displaystyle \frac { 60-84}{ 90} $

$=\displaystyle -\frac{24}{90}$

$=-\displaystyle \frac{4}{15}$ OK!!

PROBLEMAS SOBRE FRACCIONES

Antes de pasar a esta etapa les regalo dos tips básicos para resolver de forma correcto cualquier problema que amerite de análisis. 

1. Leer cuidadosamente cada problema y tratar de expresar cada frase en lenguaje matemático

2. siempre que nos topemos con un "de" en cada problema, esto se traduce como una multiplicación. Por ejemplo: los dos tercios "de" 6 se expresa como $\frac{2}{3} (6)$

1. Un vendedor de frutas tiene 504 naranjas; primero vende los 3/7 y luego los 2/3 del resto. ¿Cuántas naranjas le quedan aún sin vender?

Solución:

Tiene inicialmente: 504 Naranjas

Vende: $\displaystyle \frac{3}{7} (504)=216$ Naranjas

Le quedan: $504-216=288$ Naranjas

Vende nuevamente: $\displaystyle \frac{2}{3}(288)=192$ Naranjas

Le quedan sin vender: $504-216-192=96$ Naranjas

2. ¿Cuánto gano o pierdo si vendo por los 3/5 de los 7/2 del costo de un juguete que me ha costado 40 córdobas?

Solución: 

Vende: $\frac{3}{5} \left( \frac{7}{2} \right) (40)=84$ córdobas. 

Ganó: $84-40=44$ córdobas

3. Un estudiante de cierta universidad gasta la cuarta parte de su mesada en el alquiler de una habitación, la mitad en comida, la quinta parte en materiales educativos y el resto, 100 córdobas, en recreación. ¿Cuánto es la mesada de este estudiante? 

Solución: 

Sea x: la mesada del estudiante

Alquiler: $\frac{x}{4}$

Comida: $\frac{x}{2}$

Materiales: $\frac{x}{5}$

Le sobra: 100 córdobas. 

La mesada del estudiante es la suma de todos los gastos individuales que realizó, es decir: 

$x=\frac{x}{4}+\frac{x}{2}+\frac{x}{5}+100$

$x=\frac{19x}{20}+100$

$x-\frac{19x}{20}=100$

$\frac{x}{20}=100$

$x=2000$ córdobas

4. En una ciudad, 2/3 de los hombres están casados con los 3/5 de las mujeres. Si nunca se casan con forasteros, ¿Cuál es la proporción de solteros en dicha ciudad? 

Solución: 

Llamemos "h" a la fracción de hombres en dicha ciudad. Por tanto, la fracción de mujeres será 1-h. Según el enunciado podemos plantear: 

$\frac{2}{3}h=\frac{3}{5}(1-h)$

$\frac{2}{3}h=\frac{3}{5}-\frac{3}{5}h$

$\frac{19}{15}h=\frac{3}{5}$

$h=\frac{9}{19}$

La razón de mujeres en la ciudad es: $1-\frac{9}{19}=\frac{10}{19}$

Sin embargo, nos piden la razón de solteros. Como los 2/3 de los hombres están casados, 1/3 del total de hombres están solteros, y las 3/5 de las mujeres están casadas, por tanto los 2/5 restantes están solteras. Entonces tenemos, razón de solteros es: 

$=\frac{1}{3}\left( \frac{9}{19} \right) + \frac{2}{5}\left(  \frac{10}{19} \right)$

$=\frac{3}{19}+\frac{4}{19}$

$=\frac{7}{19}$

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Una epidemia mató a los 5/8 de las reces de un ganadero y luego él vendió los 2/3 de las que le quedaban. Si aún tiene 216 reses, ¿cuántas tenía al principio, cuántas murieron y cuántas vendió?

RPTA: 1728; 1080; 432

2. Alí gastó 1/4 de sus ahorros en la compra de un celular y 1/3 menos de lo que gastó en el celular, en la compra de un par de zapatos deportivos. ¿Qué fracción de sus ahorros gastó?

RPTA: 5/12

3. Para conocer la cantidad de agua que contiene una cisterna, ésta se encuentra dividida es 6 niveles. El primer día se encuentra vacía y se suministra 3/4 de nivel, durante la noche desciende 1/4 de nivel. Al iniciar el segundo día se suministra un nivel y medio de agua y desciende 1/3 de nivel por la noche. El tercer día se incrementa 2 niveles y en la noche desciende 3/4 de nivel, ¿en qué nivel inicia el agua el cuarto día?

RPTA: 35/12

4. Una ONG obtiene 5/8 de los recursos económicos necesarios para financiar un proyecto de fondos privados, 1/4 de los recursos fueron concedidos por el gobierno y los 5000 córdobas restantes de los propios recursos de la ONG. ¿Cuántos córdobas se necesita en total para el proyecto?

RPTA: 40,000 córdobas

5. Mateo hizo compras en dos tiendas. En cada tienda gastó la mitad de lo que tenía en ese momento. Si a la salida pagó 20 córdobas de estacionamiento y le quedaron 255 córdobas. ¿Qué cantidad de córdobas tenía inicialmente? 

RPTA:1,100 córdobas

6. "A son de guerra world tour, fue un concierto celebrado en noviembre de 2014 en nuestro país, al que asistieron 2015 personas. Si se sabe que por cada 174 hombres, acudieron 229 mujeres. ¿Cuántos hombres estuvieron en el concierto?

RPTA: 870