EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Una expresión algebraica es una combinación de letras y números mediante operaciones básicas como la suma y la multiplicación. Una expresión algebraica se caracteriza por la cantidad de términos que tenga (la cantidad de sumandos).
Se pueden clasificar básicamente en dos tipos: los monomios y los polinomios.
Los monomios son expresiones algebraicas que poseen un único término. Los polinomios son expresiones que constan de dos o más términos (cada uno de estos términos es un monomio), a su vez estos se clasifican en binomio(dos términos), trinomio(tres términos), cuadrinomio(cuatro términos), etc.
En particular, los polinomios son de mucha importancia, pues a través de estos expresamos alguna que otra relación entre magnitudes (aquí entra el concepto de función). Por ejemplo el polinomio v=v₀+at expresa la rapidez de un cuerpo que describe un movimiento rectilíneo variado, ésta rapidez final depende de su rapidez inicial, la aceleración y el tiempo. Si la rapidez inicial es nula (v₀) la rapidez final queda representada por un monomio que expresa una ley de proporcionalidad.
De forma más específica, un polinomio es una expresión de la forma:$$P_{n}(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{0}$$ Donde a_n se denomina coeficiente principal, n es su grado y a₀ su término independiente (aquel que no está adherido a una letra).

GRADO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA
Otra forma de caracterizar las expresiones algebraicas es asignándole un "grado", pero por grado no nos referimos a temperatura, sino a un número (exponente) que describe la naturaleza geométrica del polinomio. Hay dos tipos de grado, absoluto y en relación a una letra (relativo).

GRADO ABSOLUTO: es la suma de los exponentes de un término.
Por ejemplo: x²yz³ es de grado absoluto 6, puesto que al sumar los exponentes de cada literal (2+1+3) se obtiene este valor.
GRADO RELATIVO: es el mayor exponente que aparece dentro de la expresión.
Ejemplo: x²+x+1 es de grado relativo (o simplemente grado) 2, puesto que 2 es el mayor exponente que aparece en la expresión.

TIPOS DE POLINOMIOS
Ésta clasificación encaja dentro de cada uno de los tipos de polinomios nombrados anteriormente, pues básicamente depende de sus coeficientes, la cantidad de términos y como se ordenan.

Polinomio entero: es aquel en el que ninguno de sus términos tiene literales en el denominador.
Polinomio racional: en éste, si hay literales en el denominador de alguno de sus términos.
Polinomio irracional: cuando contiene radicales.
Polinomio ordenado: es aquel en el que el grado de cada término se ordena de mayor a menor o viceversa.
Polinomio completo: es aquel que posee todos sus términos, desde el grado "n" hasta el término independiente.
Polinomio homogéneo: se llama homogéneo, si cada término que lo componente posee el mismo grado absoluto.

VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN

El valor numérico de una expresión algebraica, es el que se obtiene al sustituir la variable del polinomio por un número cualquiera. Si por ejemplo, queremos saber el valor numérico del polinomio $x^2-1$ en $x=2$, basta con hacer un simple sustitución
$$(2)^2-1=4-1=3$$

OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS 

1. SUMA

Para sumar dos o más expresiones algebraicas tenemos que tener en cuenta el concepto de términos semejante, los términos semejantes son aquellos que tienen igual su parte literaria y su parte exponencial.  Por ejemplo, $3x^{2}$ y $-8x^{2}$ son ambos términos semejantes porque tienen en común la literal y su respectivo exponente.

Ejemplo 1: Sumar $m+n-p; -m-n+p$
El ; lo vamos a reemplazar por un signo mas, luego juntamos todos los términos semejantes y operamos.
$m+n-p+(-m-n+p)$

$m+n-p-m-n+p$
$m-m+n-n-p+p$
$0$

Ejemplo 2: Sumar $4x-3y+5; -x-y+4; -5x+4y-9$
$4x-3y+5+(-x-y+4)+(-5x+4y-9)$
$4x-3y+5-x-y+4-5x+4y-9$
$4x-x-5x-3y-y+4y+5+4-9$
$-2x$

Ejemplo 3: Sumar $-am+6mn-4s; 6s-am-5mn; -2s-5mn+3am$
$-am+6mn-4s+6s-am-5mn+(-2s-5mn+3am)$
$-am+6mn-4s+6s-am-5mn-2s-5mn+3am$
$-am-am+3am+6mn-5mn-5mn-4s+6s-2s$
$am-4mn$

     2. Resta

Para restar dos expresiones algebraicas, hay que tener en cuenta cual de las dos partes dada es el minuendo y cuál el sustraendo. De nuestras clases en la primaria nos enseñan que en la operación $a-b=c$, a se conoce como minuendo, b como sustraendo y c es la diferencia. Como podemos observar, es el sustraendo el que está detrás del signo menos. En la resta de expresiones algebraicas nos encontramos con dos palabras claves, éstas son "de" y "restar". Toda expresión que esté detrás de la palabra "de" es el minuendo y todo lo que esté detrás de "restar" es el sustraendo, por tanto, a la expresión del sustraendo se le antepondrá un signo menos.

Ejemplo 1: De $2x-3y$ Restar $-x+2y$
$2x-3y-(-x+2y)$
$2x-3y+x-2y$
$2x+x-3y-2y$
$3x-5y$

Ejemplo 2: Restar: $3a^{2}+ab-6b^{2}$ De $-5b^{2}+8ab+a^{2}$
$-(3a^{2}+ab-6b^{2})-5b^{2}+8ab+a^{2}$
$-3a^{2}-ab+6b^{2}-5b^{2}+8ab+a^{2}$
$-3a^{2}+a^{2}-ab+8ab+6b^{2}-5b^{2}$
$-2a^{2}+7ab+b^{2}$

Ejemplo 3: De: $5m^{3}-9n^{3}+6m^{2}n-8mn^{2}$ Restar $14mn^{2}-21m^{2}n+5m^{3}-18$
$5m^{3}-9n^{3}+6m^{2}n-8mn^{2}-(14mn^{2}-21m^{2}n+5m^{3}-18)$
$5m^{3}-9n^{3}+6m^{2}n-8mn^{2}-14mn^{2}+21m^{2}n-5m^{3}+18$
$5m^{3}-5m^{3}-9n^{3}+6m^{2}n+21m^{2}n-8mn^{2}-14mn^{2}+18$
$-9n^{3}+27m^{2}n-22mn^{2}+18$

    3. Multiplicación

Para multiplicar dos expresiones algebraicas hay que tener en cuenta una de las leyes de los exponentes: $x^{a} \cdot x^{b}=x^{a+b}$, cuando estamos multiplicando bases iguales el producto que resulta es la misma base pero elevado a la suma de ambos exponentes.

Para una mejor comprensión de esta operación, se estudian 3 casos.

CASO I: Producto de monomios.

Ejemplo 1: Multiplicar $2a^{2}$ por $3a^{2}$
$(2a^{2})(3a^{2})$
$(2)(3)(a^{2})(a^{2})$
$6a^{4}$

Ejemplo 2: Multiplicar $-4a^{2}b$ por $-ab^{2}$
$(-4)(-1)(a^{2})(a)(b)(b^{2})$
$4a^{3}b^{3}$

Ejemplo 3: Multiplicar $-5x^{3}y$ por $xy^{2}$
$(-5)(1)(x^{3})(x)(y)(y^{2})$
$-5x^{4}y^{3}$

CASO II: Producto de un monomio por un polinomio.

Para este caso lo que se hace es ir multiplicando el monomio por cada uno de los términos del polinomio, dicho de otra manera, es aplicar la propiedad distributiva.

Ejemplo 1: Multiplicar $3x^{3}-x^{2}$ por $-2x$
$(-2x)(3x^{3}-x^{2})$
$-(2x)(3x^{3})+(2x)(x^{2})$
$-(2)(3)(x)(x^{3})+(2)(1)(x)(x^{2})$
$-6x^{4}+2x^{3}$

Ejemplo 2: Multiplicar $x^{2}-4x+3$ por $-3x$
$(-3x)(x^{2}-4x+3)$
$-(3x)(x^{2})+(3x)(4x)-(3x)(3)$
$-(3)(1)(x)(x^{2})+(3)(4)(x)(x)-(3)(3)(x)$
$-3x^{3}+12x^{2}-9x$

Ejemplo 3: Multiplicar $a^{3}-5a^{2}b-8ab^{2}$ por $-4a^{4}m^{2}$
$(-4a^{4}m^{2})(a^{3}-5a^{2}b-8ab^{2})$
$-(4a^{4}m^{2})(a^{3})+(4a^{4}m^{2})(5a^{2}b)+(4a^{4}m^{2})(8ab^{2})$
$-(4)(1)(a^{4})(a^{3})(m^{2})+(4)(5)(a^{4})(a^{2})(m^{2})(b)+(4)(8)(a^{4})(a)(m^{2})(b^{2})$
$-4a^{7}m^{2}+20a^{6}m^{2}b+32a^{5}m^{2}b^{2}$